{"id":2352,"date":"2020-12-01T18:49:33","date_gmt":"2020-12-01T17:49:33","guid":{"rendered":"http:\/\/caneri.gmollet.free.fr\/?page_id=2352"},"modified":"2023-09-13T16:03:51","modified_gmt":"2023-09-13T14:03:51","slug":"activite-xiii-loi-des-sinus","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/courscaneri.ovh\/?page_id=2352","title":{"rendered":"Activit\u00e9 XIII – Loi des sinus"},"content":{"rendered":"

Soit un triangle \"ABC\"<\/code> du plan.
\nOn pose \"a=BC\"<\/code>, \"b=CA\"<\/code> et \"c=AB\"<\/code>.
\nOn appelle \"\mathscr{S}\"<\/code> l’aire du triangle et \"R\"<\/code> le rayon du cercle circonscrit \"\mathscr{C}\"<\/code> au triangle \"ABC\"<\/code>.
\nOn veut d\u00e9montrer que \"\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{c}{\sin \widehat{C}}=\frac{abc}{\mathscr{S}}=2R\"<\/code>.<\/p>\n

I. Cas o\u00f9 le triangle \"ABC\"<\/code> est acutangle<\/h2>\n

Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus.<\/p>\n

Soit H<\/code> le pied de la hauteur du triangle \"ABC\"<\/code> issue du sommet \"C\"<\/code>.<\/p>\n

    \n
  1. Faire une figure.<\/li>\n
  2. Exprimer la longueur \"CH\"<\/code> en fonction de \"a\"<\/code> et \"\widehat{B}\"<\/code>.<\/li>\n
  3. Exprimer la longueur \"CH\"<\/code> en fonction de \"b\"<\/code> et \"\widehat{A}\"<\/code>.<\/li>\n
  4. En d\u00e9duire la relation \"\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}\"<\/code>.<\/li>\n
  5. De la m\u00eame fa\u00e7on, d\u00e9montrer que \"\frac{c}{\sin \widehat{C}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}\"<\/code>.<\/li>\n
  6. a. Exprimer \"\mathscr{S}\"<\/code> en fonction de \"a\"<\/code>, \"c\"<\/code> et \"\widehat{B}\"<\/code>.
    \nb. En d\u00e9duire que \"\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{abc}{\mathscr{2S}}\"<\/code>.<\/li>\n
  7. Soit D<\/code> le point diam\u00e9tralement oppos\u00e9 au point \"A\"<\/code> dans le cercle circonscrit au triangle \"ABC\"<\/code>.
    \na. Exprimer \"\sin \widehat{ADB}\"<\/code> en fonction de \"c\"<\/code> et \"R\"<\/code>, le rayon du cercle circonscrit au triangle \"ABC\"<\/code>.
    \nb. Que dire des angles \"\widehat{ADB}\"<\/code> et \"\widehat{C}\"<\/code>? Justifier.
    \nc. En d\u00e9duire que \"\frac{c}{\sin \widehat{C}}=2R\"<\/code>.<\/li>\n
  8. Conclure.<\/li>\n<\/ol>\n

    II. Cas o\u00f9 le triangle \"ABC\"<\/code> est obtusangle<\/h2>\n

    Un triangle obtusangle est un triangle qui poss\u00e8de un angle obtus.
    \nConsid\u00e9rons dans notre cas que l’angle \"\widehat{C}\"<\/code> est obtus.<\/p>\n

    Le but est de r\u00e9pondre aux m\u00eame questions que dans la partie I. Cependant, les questions 2, 3, 4, 6a et 6b auront des r\u00e9ponses identiques donc il sera inutile de les traiter.<\/p>\n

    III. Cas o\u00f9 le triangle \"ABC\"<\/code> est rectangle<\/h2>\n

    Consid\u00e9rons dans notre cas que le triangle est rectangle en \"C\"<\/code>.<\/p>\n

    Le but est de r\u00e9pondre aux m\u00eame questions que dans la partie I. Cependant, les questions 2, 3, 4, 6a et 6b auront des r\u00e9ponses identiques donc il sera inutile de les traiter. De plus, on change la question 7 par:<\/p>\n

    a. Exprimer \"c\"<\/code> en fonction de \"R\"<\/code>.
    \nb. En d\u00e9duire que \"\frac{c}{\sin \widehat{C}}=2R\"<\/code>.<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Soit un triangle du plan. On pose , et . On appelle l’aire du triangle et le rayon du cercle circonscrit au triangle . On veut d\u00e9montrer que . I. Cas o\u00f9 le triangle est acutangle Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus. Soit H le pied de la hauteur […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":768,"menu_order":2,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-2352","page","type-page","status-publish","czr-hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2352","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2352"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2352\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3937,"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/2352\/revisions\/3937"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/768"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/courscaneri.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2352"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}