{"id":2368,"date":"2020-12-01T19:02:07","date_gmt":"2020-12-01T18:02:07","guid":{"rendered":"http:\/\/caneri.gmollet.free.fr\/?page_id=2368"},"modified":"2023-09-13T16:12:11","modified_gmt":"2023-09-13T14:12:11","slug":"activite-17-variable-aleatoire","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/courscaneri.ovh\/?page_id=2368","title":{"rendered":"Activit\u00e9 XVII – Variable al\u00e9atoire"},"content":{"rendered":"

Le temps d’attente (en minutes) \u00e0 l’arr\u00eat d’un bus peut-\u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par une variable al\u00e9atoire T<\/code> donc la loi de probabilit\u00e9 est donn\u00e9e ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n\n\n
\"t_i\"<\/code><\/th>\n1<\/code><\/th>\n2<\/code><\/th>\n3<\/code><\/th>\n4<\/code><\/th>\n5<\/code><\/th>\n6<\/code><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
\"\mathbb{P}\left(T=t_i\right)\"<\/code><\/td>\n0,28<\/code><\/td>\n0,22<\/code><\/td>\n0,19<\/code><\/td>\n0,16<\/code><\/td>\n0,10<\/code><\/td>\n0,05<\/code><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Dans un premier temps, nous allons \u00e9crire les donn\u00e9es du probl\u00e8me dans Thonny<\/em> et importer les biblioth\u00e8ques n\u00e9cessaires \u00e0 cette activit\u00e9:<\/p>\n

from math import sqrt\r\nfrom random import random\r\ntemps_attente=[1, 2, 3, 4, 5, 6]\r\nproba=[0.28, 0.22, 0.19, 0.16, 0.10, 0.05]<\/code><\/pre>\n
I. Simulation de l’attente<\/h2>\n
    \n
  1. Compl\u00e9ter la fonction suivante, qui simule le jeu ci-dessus.\n
    def attente():\r\n    nbAleatoire=random()\r\n    if nbAleatoire<=0.28:\r\n        temps=1\r\n    elif nbAleatoire<=0.50:\r\n        temps=2\r\n    elif nbAleatoire<=...:\r\n        temps=3\r\n    elif nbAleatoire<=...:\r\n        temps=4\r\n    elif nbAleatoire<=...:\r\n        temps=5\r\n    else:\r\n        temps=6\r\n    return ...<\/code><\/pre>\n<\/li>\n
  2. Impl\u00e9menter la fonction dans le logiciel Thonny<\/em>.<\/li>\n<\/ol>\n
    II. Simulation de n exp\u00e9riences<\/h2>\n
    Le but est de cr\u00e9er une liste correspondant \u00e0 un \u00e9chantillon des temps d’attente \u00e0 l’arr\u00eat du bus.<\/p>\n
    Cr\u00e9er une fonction echantillon()<\/code> ayant pour param\u00e8tre \"n\"<\/code>, la taille de l’\u00e9chantillon et qui retourne la liste des \"n\"<\/code> attentes \u00e0 l’arr\u00eat du bus.<\/p>\n
    III. Convergence de la moyenne<\/h2>\n
      \n
    1. Que font les fonctions suivantes:\n
      def somme(liste):\r\n    resultat=0\r\n    for elt in liste:\r\n        resultat = resultat + elt\r\n    return resultat\r\n\r\ndef moyenne(liste):\r\n    return somme(liste)\/len(liste)<\/code><\/pre>\n<\/li>\n
    2. Tester la fonction moyenne sur des \u00e9chantillons de taille de plus en plus grande. Que remarquez-vous?<\/li>\n<\/ol>\n
      III. Esp\u00e9rance<\/h2>\n
        \n
      1. Cr\u00e9er la fonction esperance()<\/code> ayant pour param\u00e8tres 2 listes valeurs<\/code> et probabilites<\/code>, et qui retourne l’esp\u00e9rence de la variable al\u00e9atoire dont la loi est donn\u00e9e par les deux listes.<\/li>\n
      2. Quelle est l’esp\u00e9rance de la varaible al\u00e9atoire \"T\"<\/code>? On \u00e9crira dans le shell<\/code>:\n
        >>> esperance(temps_attente, proba)<\/code><\/pre>\n<\/li>\n
      3. Calculer, pour plusieurs valeurs de \"n\"<\/code>, l’\u00e9cart entre la moyenne d’un \u00e9chantillon de taille \"n\"<\/code> et l’esp\u00e9rance. On \u00e9crira dans le shell, par exemple:\n
        >>> moyenne(echantillon(10))-esperance(temps_attente, proba)<\/code><\/pre>\n
        Que remarquez-vous?<\/li>\n
      4. Quelle conjecture peut-on faire que l’esp\u00e9rance par rapport \u00e0 la moyenne d’un \u00e9chantillon?<\/li>\n<\/ol>\n
        IV. Variance et ecart type<\/h2>\n
          \n
        1. Cr\u00e9er la fonction variance()<\/code> ayant pour param\u00e8tres 2 listes valeurs<\/code> et probabilites<\/code>, et qui retourne la variance de la variable al\u00e9atoire dont la loi est donn\u00e9e par les deux listes.<\/li>\n
        2. Cr\u00e9er la fonction ecart_type()<\/code> ayant pour param\u00e8tres 2 listes valeurs<\/code> et probabilites<\/code>, et qui retourne l’\u00e9cart type de la variable al\u00e9atoire dont la loi est donn\u00e9e par les deux listes.<\/li>\n<\/ol>\n
          V. Calcul d’une proportion<\/h2>\n
          On consid\u00e8re N<\/code> \u00e9chantillons de taille n<\/code>. Si on appelle \\mu<\/code> l’esp\u00e9rance de la loi de la variable al\u00e9atoire T<\/code> et \\sigma<\/code> son \u00e9cart type, \u00e9crire une fonction simulation()<\/code> ayant pour param\u00e8tres:<\/p>\n
            \n
          • N<\/code>, le nombre d’\u00e9chantillons \u00e0 simuler.<\/li>\n
          • n<\/code>, la taille de chaque \u00e9chantillon.<\/li>\n
          • valeurs<\/code>, les valeurs prises par la variable al\u00e9atoire \"T\"<\/code>.<\/li>\n
          • probabilites<\/code>, les probabilit\u00e9s correspondant aux valeurs ci-dessus.<\/li>\n<\/ul>\n
            Cette fonction devra retourner la proportion d’\u00e9chantillons ayant une moyenne de temps d’attente comprise entre \"\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\"<\/code> et \"\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\"<\/code>.<\/p>\n
            Tester plusieurs fois cette fonction. Que remarquez-vous?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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