{"id":3430,"date":"2020-12-01T18:58:14","date_gmt":"2020-12-01T17:58:14","guid":{"rendered":"http:\/\/caneri.gmollet.free.fr\/?page_id=2365"},"modified":"2023-09-13T16:10:43","modified_gmt":"2023-09-13T14:10:43","slug":"activite-xvi-variables-aleatoires-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/courscaneri.ovh\/?page_id=3430","title":{"rendered":"Activit\u00e9 XVI – Variables al\u00e9atoires"},"content":{"rendered":"

I. Formules de K\u00f6nig-Huygens<\/h2>\n

On consid\u00e8re une loi de probabilit\u00e9 d\u00e9finie sur un univers \"\Omega\"<\/code> et \"X\"<\/code> une variable al\u00e9atoire d\u00e9finie sur \"\Omega\"<\/code> dont la loi de probabilit\u00e9 est r\u00e9sum\u00e9e dans le tableau ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n\n\n
\"x_i\"<\/code><\/th>\n\"x_1\"<\/code><\/th>\n\"x_2\"<\/code><\/th>\n...<\/code><\/th>\n\"x_n\"<\/code><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
\"\mathbb{P}(X=x_i)\"<\/code><\/td>\n\"p_1\"<\/code><\/td>\n\"p_2\"<\/code><\/td>\n...<\/code><\/td>\n\"p_n\"<\/code><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

On rappelle que :<\/p>\n

    \n
  • \"\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^n p_ix_i\"<\/code><\/li>\n
  • \"\displaystyle V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2\"<\/code><\/li>\n<\/ul>\n

    Nous allons d\u00e9montrer que \"\displaystyle V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2\"<\/code><\/p>\n

      \n
    1. Expliquer pourquoi \"\displaystyle E\left(X^2\right)=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2\"<\/code>.<\/li>\n
    2. En partant de la formule \"\displaystyle V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2\"<\/code>, d\u00e9montrer que \"\displaystyle V(X)=\left(\sum_{i=1}^n p_ix_i^2\right)-\sum_{i=1}^n 2E(X)p_ix_i+\sum_{i=1}^n p_i\left(E(X)\right)^2\"<\/code>.<\/li>\n
    3. Factoriser les deuxi\u00e8me somme puis la troisi\u00e8me somme.<\/li>\n
    4. Conclure.<\/li>\n<\/ol>\n

      II. Etude d’une fonction<\/h2>\n

      Soit \"X\"<\/code> une variable al\u00e9atoire.
      \nSoit la fonction \"f\"<\/code> d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\"<\/code> par \"f(x)=E\left((X-x)^2\right)\"<\/code>.<\/p>\n

        \n
      1. D\u00e9montrer que \"f(x)=x^2-2E(X)x+E\left(X^2\right)\"<\/code>.<\/li>\n
      2. Quelle est la nature de la fonction \"f\"<\/code>?<\/li>\n
      3. En d\u00e9duire le sens de variation de la fonction \"f\"<\/code>.<\/li>\n
      4. La fonction \"f\"<\/code> admet-elle un extremum? Si oui, quel est-il et pour quelle valeur de \"x\"<\/code> est-il atteint?<\/li>\n
      5. En d\u00e9duire le signe de \"f(x)\"<\/code> selon les valeurs de \"x\"<\/code>.<\/li>\n
      6. De quel signe est le discriminant du polyn\u00f4me \"f(x)\"<\/code>? Justifier.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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