a<\/code> et b<\/code> deux nombres r\u00e9els. <\/p>\n\n- L\u2019intervalle
[a ;b]<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que a\\le x\\le b<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
[a ;b[<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que a\\le x < b<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
]a ;b]<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que a < x\\le b<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
]a ;b[<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que a < x < b<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
[a ;+\\infty[<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que x\\ge a<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
]a ;+\\infty[<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que x > a<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
]-\\infty ; b]<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que x\\le b<\/code>.<\/li>\n- L\u2019intervalle
]-\\infty ; b[<\/code> est l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els x<\/code> tels que x < b<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\nPropri\u00e9t\u00e9<\/em><\/strong><\/p>\n\nSoit a\\in\\mathbb{R}<\/code> et b\\in\\mathbb{R}_+<\/code>.
\nx \\in [a-r, a+r] \\Leftrightarrow |x-a|\\le r<\/code><\/p>\n<\/blockquote>\nG\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les fonctions<\/h2>\n
\n
Soit une fonction f: x\\mapsto f(x)<\/code> d\u00e9finie sur un intervalle I<\/code>.
\nSoient a<\/code> et b<\/code> deux nombres r\u00e9els tels que f(a)=b<\/code>.
\nOn dit que :<\/p>\n\nb<\/code> est l'image de a<\/code> par la fonction f<\/code>.<\/li>\na<\/code> est un ant\u00e9c\u00e9dent de b<\/code> par la fonction f<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\nDans un rep\u00e8re, l'ensemble des points de coordonn\u00e9es (x ; f(x))<\/code> constituent la repr\u00e9sentation graphique de la fonction.<\/p>\nVariations d'une fonction<\/h3>\n
\n\n- Une fonction
f<\/code> est dite croissante sur l\u2019intervalle I<\/code> si et seulement si pour tous les nombres r\u00e9els a<\/code> et b<\/code> de l\u2019intervalle I<\/code> tels que a < b<\/code>, on a f(a) < f(b)<\/code>.<\/li>\n- Une fonction
f<\/code> est dite croissante sur l\u2019intervalle I<\/code> si et seulement si pour tous les nombres r\u00e9els a<\/code> et b<\/code> de l\u2019intervalle I<\/code> tels que a < b<\/code>, on a f(a) > f(b)<\/code>.<\/li>\n- Une fonction
f<\/code> est dite croissante sur l\u2019intervalle I<\/code> si et seulement si pour tous les nombres r\u00e9els a<\/code> et b<\/code> de l\u2019intervalle I<\/code> tels que a < b<\/code>, on a f(a)=f(b)<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\nExtrema locaux d'une fonction<\/h3>\n
\n
Soit f<\/code> une fonction d\u00e9finie sur un intervalle I<\/code>. Soit a<\/code> un nombre r\u00e9el de l\u2019intervalle I<\/code>. <\/p>\n\n- Dire que le nombre
f(a)<\/code> est un maximum de f<\/code> sur l\u2019intetrvalle I<\/code> signifie que pour tout r\u00e9el x<\/code> de l\u2019intervalle I<\/code>, f(x)\\le f(a)<\/code>.<\/li>\n- Dire que le nombre
f(a)<\/code> est un minimum de f<\/code> sur l\u2019intetrvalle I<\/code> signifie que pour tout r\u00e9el x<\/code> de l\u2019intervalle I<\/code>, f(x)\\ge f(a)<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\nFonction affine<\/h2>\n
\n
Une fonction affine f<\/code> est le processus qui, \u00e0 tout nombre x<\/code>, fait correspondre le nombre m\\times x+p<\/code> o\u00f9 m<\/code> et p<\/code> sont fix\u00e9s. On la note f: x\\mapsto mx+p<\/code>.
\nOn \u00e9crit aussi f(x)=mx+p<\/code>. <\/p>\nLa repr\u00e9sentation graphique de la fonction affine est une droite.
\nLe nombre m<\/code> est appel\u00e9 coefficient directeur de la droite.
\nLe nombre p<\/code> est appel\u00e9 ordonn\u00e9e \u00e0 l'origine de la droite.<\/p>\nSi m > 0<\/code> alors f<\/code> est croissante.
\nSi m < 0<\/code> alors f<\/code> est d\u00e9croissante.<\/p>\nsigne de mx+p<\/code><\/h3>\n
\nSi m > 0<\/code> alors:<\/p>\n\n\\forall x \\in \\left]-\\infty; -\\frac{p}{m}\\right[, mx+p<0<\/code><\/li>\n\\forall x \\in \\left]-\\frac{p}{m}; +\\infty\\right[, mx+p>0<\/code><\/li>\n<\/ul>\nSi m < 0<\/code> alors:<\/p>\n\n\\forall x \\in \\left]-\\infty; -\\frac{p}{m}\\right[, mx+p > 0<\/code><\/li>\n\\forall x \\in \\left]-\\frac{p}{m}; +\\infty\\right[, mx+p < 0<\/code><\/li>\n<\/ul>\nFonction lin\u00e9aire<\/h2>\n
\n
Une fonction affine f<\/code> est le processus qui, \u00e0 tout nombre x<\/code>, fait correspondre le nombre m\\times x<\/code> o\u00f9 m<\/code> est fix\u00e9. On la note f: x\\mapsto mx<\/code>.
\nOn \u00e9crit aussi f(x)=mx<\/code>.<\/p>\nRemarque: La fonction lin\u00e9aire est un cas particulier de fonction affine: c'est le cas o\u00f9 p=0<\/code>.<\/p>\nLa repr\u00e9sentation graphique de la fonction lin\u00e9aire est donc une droite qui passe par l'origine du rep\u00e8re.<\/p>\n
Fonction valeur absolue<\/h2>\n
\n
La valeur absolue d'un nombre r\u00e9el x<\/code> est le nombre not\u00e9 <\/p>\n <\/span> <\/span>![\"\[$|x|\]\"](\"https:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34a73acda83fa3e2088cb18e70670321_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n$<\/code> d\u00e9fini par:<\/p>\n
\n|x|=x<\/code> si x\\ge 0<\/code><\/li>\n|x|=-x<\/code> si x < 0<\/code><\/li>\n<\/ul>\nAinsi \\forall x \\in \\mathbb{R}, |x|\u22650<\/code>.<\/p>\nLa distance de deux nombres r\u00e9els a<\/code> et b<\/code> sur une droite gradu\u00e9e est \u00e9gale \u00e0 |a-b|<\/code>.<\/p>\nLa fonction d\u00e9finie sur \\mathbb{R}<\/code> par f(x) = |x|<\/code> est appel\u00e9e fonction valeur absolue.<\/p>\nSa repr\u00e9sentation graphique est compos\u00e9e de 2 demi-droite d'origine l'origine du rep\u00e8re.
\n![\"\"](\"http:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/valeur_absolue-3.png\")
<\/p>\n
La fonction valeur absolue est d\u00e9croissante sur ]-\\infty;0]<\/code> et croissante sur [0;+\\infty[<\/code>.<\/p>\nPropri\u00e9t\u00e9 (variations)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\\forall a \\in \\mathbb{R}_-, \\forall b \\in \\mathbb{R}_-, a < b \\Leftrightarrow |a| > |b|<\/code>.
\n\\forall a \\in \\mathbb{R}_+, \\forall b \\in \\mathbb{R}_+, a < b \\Leftrightarrow |a| < |b|<\/code>. <\/p>\n<\/blockquote>\nFonction racine carr\u00e9e<\/h2>\n
\n
La racine carr\u00e9e d\u2019un nombre positif a<\/code> est le nombre positif not\u00e9 \\sqrt{a}<\/code> dont le carr\u00e9 est \u00e9gal au nombre a<\/code>.
\nLe symbole \\sqrt{ ~~ }<\/code> s'appelle le radical.
\nOn a donc \\forall x \\in \\mathbb{R}_+, \\sqrt{x}\\ge 0<\/code>.<\/p>\nPropi\u00e9t\u00e9s<\/em><\/strong><\/p>\n\nSoient a \\in \\mathbb{R}_+<\/code> et b \\in \\mathbb{R}<\/code>.<\/p>\n\n\\sqrt{a}^2=a<\/code><\/li>\n\\sqrt{a^2}=a<\/code><\/li>\n\\sqrt{b^2}=|b|<\/code><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\nUn nombre entier positif dont la racine carr\u00e9e est un nombre entier est appel\u00e9 un carr\u00e9 parfait.<\/p>\n
Propi\u00e9t\u00e9s<\/em><\/strong><\/p>\n\nSoient a \\in \\mathbb{R}_+<\/code>, b \\in \\mathbb{R}_+<\/code> et c \\in \\mathbb{R}^*_+<\/code>.<\/p>\n\n\\sqrt{a} \\times \\sqrt{b}=\\sqrt{ab}<\/code><\/li>\n\\sqrt{\\frac{a}{c}}=\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{c}}<\/code><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\nSimplifier une racine carr\u00e9e, c'est l'\u00e9crire sous la forme a\\sqrt{b}<\/code> avec b<\/code> un nombre le plus petit entier possible. <\/p>\nLa fonction d\u00e9finie sur \\mathbb{R}_+<\/code> par f(x)=\\sqrt{x}<\/code> est appel\u00e9e fonction racine carr\u00e9e.
\nSa repr\u00e9sentation graphique dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 est une demi-parabole.
\n![\"\"](\"http:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/racine_carree-2.png\")
<\/p>\nLa fonction racine carr\u00e9e est croissante sur [0;+\\infty[<\/code>.<\/p>\nPropri\u00e9t\u00e9 (variations)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\\forall a \\in \\mathbb{R}_+, \\forall b \\in \\mathbb{R}_+, a < b \\Leftrightarrow \\sqrt{a} < \\sqrt{b}<\/code>. <\/p>\n<\/blockquote>\nFonction carr\u00e9e<\/h2>\n
\n
La fonction d\u00e9finie sur \\mathbb{R}<\/code> par f(x)=x^2<\/code> est appel\u00e9e fonction carr\u00e9e.
\nSa repr\u00e9sentation graphique dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 est une parabole de sommet l'origine du rep\u00e8re.
\n![\"\"](\"http:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/carre-1.png\")
<\/p>\nLa fonction carr\u00e9e est d\u00e9croissante sur ]-\\infty;0]<\/code> et croissante sur [0;+\\infty[<\/code>.<\/p>\nPropri\u00e9t\u00e9 (variations)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\\forall a \\in \\mathbb{R}_-, \\forall b \\in \\mathbb{R}_-, a < b \\Leftrightarrow a^2 > b^2<\/code>.
\n\\forall a \\in \\mathbb{R}_+, \\forall b \\in \\mathbb{R}_+, a < b \\Leftrightarrow a^2 < b^2<\/code>. <\/p>\n<\/blockquote>\nFonction cube<\/h2>\n
\n
La fonction d\u00e9finie sur \\mathbb{R}<\/code> par f(x)=x^3<\/code> est appel\u00e9e fonction cube.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/cube-1.png\")
<\/p>\n
La fonction carr\u00e9e est croissante sur [-\\infty;+\\infty[<\/code>.<\/p>\nPropri\u00e9t\u00e9 (variations)<\/em><\/strong><\/p>\n\\forall a \\in \\mathbb{R}, \\forall b \\in \\mathbb{R}, a < b \\Leftrightarrow a^3 > b^3<\/code>. <\/p>\nFonction inverse<\/h2>\n
\n
La fonction d\u00e9finie sur \\mathbb{R}^*<\/code> par f(x)=\\frac{1}{x}<\/code> est appel\u00e9e fonction inverse.
\nSa repr\u00e9sentation graphique dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 est une hyperbole.
\n![\"\"](\"http:\/\/courscaneri.ovh\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/inverse-2.png\")
<\/p>\nLa fonction inverse est d\u00e9croissante sur