{"id":778,"date":"2019-11-02T17:58:26","date_gmt":"2019-11-02T16:58:26","guid":{"rendered":"http:\/\/caneri.gmollet.free.fr\/?page_id=778"},"modified":"2023-09-13T15:48:58","modified_gmt":"2023-09-13T13:48:58","slug":"activite-x","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/courscaneri.ovh\/?page_id=778","title":{"rendered":"Activit\u00e9 X – Probailit\u00e9 conditionnelles"},"content":{"rendered":"

Dans cette activit\u00e9, nous allons estimer l’aire sous une parabole (partie I) puis le nombre \\pi<\/code> (partie II) par la m\u00e9thode de Mont\u00e9-Carlo.
\nLes deux parties sont totalement ind\u00e9pendants.<\/p>\n

I – Aire sous la parabole<\/h2>\n

Nous allons proposer de calculer une estimation de l’aire d\u00e9limit\u00e9e par la parabole de la fonction carr\u00e9, l’axe des abscisses et la droite d’\u00e9quation \"x=1\"<\/code>.<\/p>\n

    \n
  1. Sous geogebra<\/em>, tracer la courbe repr\u00e9sentative de la fonction carr\u00e9e, puis la droite d’\u00e9quation \"x=1\"<\/code>.<\/li>\n
  2. Cr\u00e9er le carr\u00e9 (polyg\u00f4ne) de c\u00f4t\u00e9 1 passant par les points de coordonn\u00e9es \"(0;0)\"<\/code>, \"(1;0)\"<\/code>, \"(1;1)\"<\/code> et \"(0;1)\"<\/code>.<\/li>\n
  3. Cr\u00e9er un curseur \"n\"<\/code> qui prend des valeurs enti\u00e8res de \"1\"<\/code> \u00e0 \"1000\"<\/code>.<\/li>\n
  4. Dans la ligne de saisie, \u00e9crire:\n
    E=(random(),random())<\/code><\/pre>\n
    O\u00f9 se place le point \"E\" ?<\/li>\n
  5. Dans la ligne de saisie, \u00e9crire:\n
    Liste_1=S\u00e9quence((random(),random()),i,1,n)<\/code><\/pre>\n
    Que se passe-t-il?
    \nFaites varier le curseur \"n\". Que se passe-t-il?<\/li>\n
  6. Nous allons cr\u00e9er la r\u00e9gion sous la courbe.\n
      \n
    1. Donner un encadrement de \"y\"<\/code> en fonction de \"x\"<\/code>.<\/li>\n
    2. Compl\u00e9ter la saisie suivante qui permet de cr\u00e9er la r\u00e9gion sous la courbe.\n
      R\u00e9gion= (...<= x <=...) && (...<= y <=...)<\/code><\/pre>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n
    3. Que fait la saisie suivante?\n
      Liste_2 = S\u00e9quence(EstDansR\u00e9gion(El\u00e9ment(Liste_1,i),R\u00e9gion),i,1,n)<\/code><\/pre>\n<\/li>\n
    4. En saisissant S=Somme[Liste_2]<\/code>, on obtient le nombre de points sous la courbe.
      \nQue saisir pour avoir la proportion de points sous la courbe parmi tous les points? Pour ce nombre, on choisira Propri\u00e9t\u00e9\/Alg\u00e8bre et on d\u00e9cochera Symbolique.<\/em><\/li>\n
    5. Faire varier \"n\"<\/code>.<\/li>\n
    6. Quelle est la probabilit\u00e9 qu’un point du carr\u00e9 soit sous la courbe?<\/li>\n
    7. Estimer la valeur de l’aire sous la courbe?
      \nOn pourra supposer que la proportion de points sous la courbe parmi les points du carr\u00e9 est approximativement la m\u00eame que la proportion d’aire sous la courbe par rapport \u00e0 l’aire du carr\u00e9<\/em><\/li>\n<\/ol>\n
      II – Estimation de \"\pi\"<\/code><\/h2>\n
      Nous allons proposer de calculer une estimation de l’aire d’un disque de rayon 1<\/code> unit\u00e9.<\/p>\n
        \n
      1. Tracer un cercle de rayon 1<\/code> et de centre l’origine du rep\u00e8re.<\/li>\n
      2. D\u00e9terminer la valeur exacte de l’aire de ce disque.<\/li>\n
      3. Tracer le carr\u00e9 de sommets les points de coordonn\u00e9es \"(1;1)\"<\/code>, \"(-1;1)\"<\/code>, \"(-1;-1)\"<\/code> et \"(1;-1)\"<\/code>.<\/li>\n
      4. Quelle est l’aire du carr\u00e9?<\/li>\n
      5. Cr\u00e9er un curseur \"n\"<\/code> prenant des valeurs de 1<\/code> \u00e0 1000<\/code>.<\/li>\n
      6. Soit \"x\"<\/code> l’abscisse d’un point du disque. Donner un encadrement de son ordonn\u00e9 en fonction de \"x\"<\/code>.<\/li>\n
      7. Cr\u00e9er la r\u00e9gion correspondant au disque.<\/li>\n
      8. La commande Al\u00e9aUniforme(-1,1)<\/code> retourne un nombre al\u00e9atoire compris entre -1<\/code> et 1<\/code>.
        \nCr\u00e9er la Liste_1<\/code> des \"n\"<\/code> points plac\u00e9s al\u00e9atoirement dans le carr\u00e9.<\/li>\n
      9. Cr\u00e9er la Liste_2<\/code> qui indique si les points de la la Liste_1<\/code> sont dans le disque ou non.<\/li>\n
      10. D\u00e9terminer le nombre de points dans le disque.<\/li>\n
      11. En d\u00e9duire la proportion de points dans le disque parmi les points pr\u00e9sents. Pour ce nombre, on choisira Propri\u00e9t\u00e9\/Alg\u00e8bre et on d\u00e9cochera Symbolique.<\/em><\/li>\n
      12. Quelle est la probabilit\u00e9 qu’un point du carr\u00e9 soit dans le disque?<\/li>\n
      13. Estimer la valeur du nombre \"\pi\"<\/code>.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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