Activité VIII – Les suites – Cours de M. Caneri

I – La suite de Syracuse

Soit $p \in \mathbb{N}$ .
La suite de Syracuse du nombre $p$ est définie de la façon suivante:
$\left \{ \begin{array}{r c l}s_0 &=& p \\ s_{n+1} &=& \frac{s_n}{2}~si~s_n~est~pair \\ s_{n+1} &=& 3 \times s_n + 1~si~s_n~est~impair \end{array} \right.$

Choisir un nombre $p$ . Calculer les 10 premiers termes de la suite de Syracuse.
En python, l’opérateur % renvoie le reste de la division euclidienne.
Ainsi 72 % 5 renvoie le reste de la division euclidienne de 72 par 5 soit 2:
```
>>> 72 % 5
2
```
Que renvoient les commandes suivantes?
```
>>> 17 % 2
>>> 35 % 2
>>> 26 % 2
>>> 1354 % 2
```
Soit $n \in \mathbb{N}$ .
Que peut-on dire de $n$ si la commande n % 2 renvoie 1?
Que peut-on dire de $n$ si la commande n % 2 renvoie 0?
En Python, créer une fonction Syracuse() de paramètres n et p, qui renvoie le terme $s_n$ sachant que $s_0=p$ .
Tester la fonction Syracuse(). Par exemple:
```
>>> Syracuse(15,5)
106
```
Créer une fonction liste_syracuse() de paramètres nb et p, et qui retourne la liste des nb premiers termes de la suite de Syracuse du nombre .
Par exemple:
```
>>> liste_syracuse(6, 12)
[12, 6, 3, 10, 5, 16]
```
Que remarquez-vous lorsque $nb$ est grand?
Quel conjecture pouvez-vous faire sur la suite de Syracuse d’un nombre $p$ ?
Créer une fonction liste_syracuse2() de paramètre qui retourne la liste de tous les termes jusqu’à ce que l’un d’entre eux soit égal à $1$ .

II – La suite de Fibonnacci

La suite de Fibonnacci est définie de la façon suivante:
$\left \{ \begin{array}{r c l}f_1 &=& 1 \\ f_2 &=& 1\\ f_{n+2} &=& f_{n+1} + f_n, \forall n \in \mathbb{N}\end{array} \right.$

Calculer les 5 premiers termes de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ .
En Python, créer une fonction Fibonnacci() de paramètre n, qui retourne le terme $f_n$ .
Vérifier le bon fonctionnement de votre fonction grâce aux 5 premiers termes de la suite de Fibonacci.
Créer une fonction liste_fibonnacci() de paramètre nbqui retourne la liste des nb premiers termes de la suite de Fibonacci.
```
>>> liste_fibonnacci(6)
[1, 1, 2, 3, 5, 8]
```