Activité XI – Probabilités conditionnelles

Lucien, fumeur impénitent, décide d’essayer de ne plus fumer.
S’il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,76.
Par contre, s’il fume un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0,36.

On note $F_n$ l’événement « Lucien fume le n-ième jour » et $\overline{F_n}$ l’événement contraire.
On pose $\forall n \in \mathbb{N}, p_n=\mathbb{P}\left(F_n\right)$ .

Déterminer $p_0$ .
Déterminer $<code class="katex-inline">\mathbb{P}_{\overline{F_n}}\left(\overline{F_{n+1}}\right)$ puis $\mathbb{P}_{F_n}\left(\overline{F_{n+1}}\right)$ .
Compléter cet arbre de probabilité.
Calculer $p_1$ , $p_2$ puis $p_3$ .
Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ .
On pose: $\forall n \in \mathbb{N}, q_n=p_n-0,4$ .
a. Démontrer que la suite $\left(q_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique. On en précisera la raison et le terme initial.
b. En déduire l’expression de $q_n$ en fonction de $n$ .
c. En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n$ .
d. Déterminer $\lim\limits_{n\to + \infty}p_n$ . Interpréter ce résultat.