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Activité II – Polynômes du second degré et plus

Partie I – un exemple

Soit $P$ le polynôme du troisième degré défini par:
$\forall x \in \mathbb{R}, P(x)=2x^3-14x^2+32x-24$

Le nombre 2 est-il racine du polynôme $P$ ?
Trouver trois nombres réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $\forall x \in \mathbb{R}, P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$ .
Déterminer le signe de $P(x)$ selon les valeurs de $x$ .
Factoriser $P(x)$ le plus possible.

Partie II – un autre exemple et une généralité

Soit $Q$ le polynôme du troisième degré défini par:
$\forall x \in \mathbb{R}, Q(x)=x^3-1$

Trouver une racine évidente du polynôme $Q$ .
Factoriser $Q(x)$ le plus possible.Soit $R$ le polynôme du quatrième degré défini par:
$\forall x \in \mathbb{R}, R(x)=x^4-1$
Factoriser si possible $R(x)$ .
Conjecturer sur la factorisation de $P_n$ le polynôme du n-ième degré défini par:
$\forall x \in \mathbb{R}, P_n(x)=x^n-1$
Démontrer cette conjecture.

Partie III – Une autre généralité

Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$ . Soit $Q_n$ le polynôme du n-ième degré défini par:
$\forall x \in \mathbb{R}, Q_n(x)=x^n-a^n$

Trouver une racine évidente du polynôme $Q_n$ .
Factoriser $Q_n(x)$ . On pourra testet les cas où $n=2$ , $n=3$ et $n=4$ et conjecturer. Ensuite on démontrera la conjecture.