Cours de M. Caneri
Mathématiques, Cinéma, Informatique
Cours de M. Caneri

Activité XIII – Loi des sinus

Soit un triangle ABC du plan.
On pose a=BC, b=CA et c=AB.
On appelle \mathscr{S} l’aire du triangle et R le rayon du cercle circonscrit \mathscr{C} au triangle ABC.
On veut démontrer que \frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{c}{\sin \widehat{C}}=\frac{abc}{\mathscr{S}}=2R.

I. Cas où le triangle ABC est acutangle

Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus.

Soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet C.

  1. Faire une figure.
  2. Exprimer la longueur CH en fonction de a et \widehat{B}.
  3. Exprimer la longueur CH en fonction de b et \widehat{A}.
  4. En déduire la relation \frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}.
  5. De la même façon, démontrer que \frac{c}{\sin \widehat{C}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}.
  6. a. Exprimer \mathscr{S} en fonction de a, c et \widehat{B}.
    b. En déduire que \frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{abc}{\mathscr{2S}}.
  7. Soit D le point diamétralement opposé au point A dans le cercle circonscrit au triangle ABC.
    a. Exprimer \sin \widehat{ADB} en fonction de c et R, le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
    b. Que dire des angles \widehat{ADB} et \widehat{C}? Justifier.
    c. En déduire que \frac{c}{\sin \widehat{C}}=2R.
  8. Conclure.

II. Cas où le triangle ABC est obtusangle

Un triangle obtusangle est un triangle qui possède un angle obtus.
Considérons dans notre cas que l’angle \widehat{C} est obtus.

Le but est de répondre aux même questions que dans la partie I. Cependant, les questions 2, 3, 4, 6a et 6b auront des réponses identiques donc il sera inutile de les traiter.

III. Cas où le triangle ABC est rectangle

Considérons dans notre cas que le triangle est rectangle en C.

Le but est de répondre aux même questions que dans la partie I. Cependant, les questions 2, 3, 4, 6a et 6b auront des réponses identiques donc il sera inutile de les traiter. De plus, on change la question 7 par:

a. Exprimer c en fonction de R.
b. En déduire que \frac{c}{\sin \widehat{C}}=2R.