Activité IV – Fonctions trigonométriques

Le but de cette activité est de donner une approximation de la valeur de $\pi$ .

Partie I – Préliminaires

Soit $AOB$ un un triangle isocèle en $O$ . On pose $\widehat{AOB}=\alpha$ et $AO=l$ .
Déterminer la longueur du côté $AB$ en fonction de $\alpha$ et $l$ .
Soit un cercle trigonométrique de centre . Soient et deux point du cercle. On pose . Soit la tangente à parallèle à qui coupe les demi-droite et respectivement en et . On appelle le pied de la hauteur du triangle issue de et le pied de la hauteur du triangle issue de .
1. Faire une figure.
2. Calculer en fonction de :
  - la longueur $AB$
  - la longueur $OH$
  - la longueur $CD$

Partie II – Approximation de $\pi$ par la méthode d’archimède

Soit $\mathscr{C}$ un cercle trigonométrique de centre $O$ . On condidère le polygône régulier à $n$ côtés $A_1A_2...A_n$ inscrit dans le cercle $\mathscr{C}$ et le polygône régulier à $n$ côtés $B_1B_2...B_n$ circonscrit au cercle $\mathscr{C}$ tels que $\forall k \in \left[\left[1;n\right]\right]$ , $O$ , $A_k$ et $B_k$ soient alignés.

La figure ci-dessous représente le cas où $n=6$ .

On pose $\widehat{A_1OA_2}=\alpha$ . Déterminer $\alpha$ en fonction de $n$ .
En déduire la longueur $A_1A_2$ en fonction de $n$ puis la longueur $B_1B_2$ en fonction de $n$ .
Déterminer le périmètre $\mathscr{P}_n$ du polygone intérieur et le périmètre $\mathscr{P'}_n$ du polygone extérieur en fonction de $n$ .
Justifier le fait que $\forall n \in \mathbb{N}^*, \mathscr{P}_n\le 2\pi\le\mathscr{P'}_n$ .
Calculer $\mathscr{P}_6$ et $\mathscr{P'}_6$
Nous allons trouver une approximation de à près. Pour cela:
1. Exécuter le logiciel Thonny.
2. Ecrire en ligne 1:
```
from math import sin, cos, tan, radians,pow
```
3. Créer une fonction perimetre_interieur()ayant pour paramètre $n$ , le nombre de côtés du polygône intérieur.
4. Créer un fonction perimetre_exterieur()ayant pour paramètre $n$ , le nombre de côtés du polygône extérieur.
5. Créer un fonction archimede() qui prend un nombre $erreur$ en paramètre qui correspond à l’erreur commise par l’approximation et qui retourne lapproximation du nombre $\pi$ .

Partie I – Préliminaires

Partie II – Approximation de par la méthode d’archimède

Partie II – Approximation de $\pi$ par la méthode d’archimède