Activité XII – Calcul vectoriel

I. Médianes d’un triangle

Tracer une triangle $ABC$ . Placer les points $I$ , $J$ et $K$ , milieux respectifs des côtés $[BC]$ , $[AC]$ et $[AB]$ .
Tracer les trois médianes de ce triangle.
Que dire des trois médianes?
Nous allons démontrer la conjecture.
Soit $G$ le point du plan tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ . Ce point $G$ est appelé centre de gravité du triangle.
a. Démontrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .
b. En déduire que le point $G$ appartient à la médiane $(AI)$ .
c. Démontrer de la même façon que le point $G$ appartient aux médianes $(BJ)$ et $(CK)$ .
d. Conclure.
Soit $M$ un point du plan. Démontrer que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

II. Droite d’Euler d’un triangle

Soit un triangle $ABC$ . Les points $I$ , $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des côtés $[BC]$ , $[AC]$ et $[AB]$ . Soient $\Omega$ le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $G$ le centre de gravité de ce triangle.

Soit $H$ le point du plan tel que $\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{\Omega B}+\overrightarrow{\Omega C}=\overrightarrow{\Omega H}$ .
a. Démontrer que $\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{\Omega K}$ .
b. Calculer $\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}$ .
c. Que représente la droite $(CH)$ pour le triangle $ABC$ ?
d. De même, que représentent les droites $(AH)$ et $(BH)$ pour le triangle $ABC$ . Justifier.
e. Que dire des trois hauteurs d’un triangle?

Le point $H$ est appelé orthocentre du triangle $ABC$ .
Démontrer que les points $\Omega$ , $G$ et $H$ sont alignés.

La droite qui passe par le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit à un triangle s’appelle la droite d’Euler.