Activité VII – Les suites – Cours de M. Caneri

I – Suite de la forme $u_n=f(n)$

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n=-4 \times 0,5^n$ .

Dans Thonny, créer la fonction suite_u() de paramètre $n$ et qui retourne le terme $u_n$ .
Déterminer $u_8$ puis $u_{5}$ .
Créer une fonction liste_u() de paramètre nb qui retourne la liste des nb premiers termes de la suite u.
Remarque: En python, la méthode append() permet d’ajouter un terme à la fin d’une liste.
```
>>> liste = []
>>> liste.append(5)
>>> liste
[5]
>>> liste.append(7)
>>> liste
[5, 7]
```

II – Suite de la forme $v_{n+1}=f(v_n)$

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par récurrence:
$\left \{ \begin{array}{r c l}v_0 &=& 1 \\ v_{n+1} &=& 0,5v_n+2,5, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{array} \right.$ .

Créer la fonction suite_v() de paramètre n et qui retourne le terme $v_n$ .
Une telle fonction informatique s’appelle fonction récursive.Remarque: dire qu’une suite est de la forme $v_{n+1}=f(v_n)$ avec $n \in \mathbb{N}$ est équivalent à dire que la suite est de la forme $v_{n}=f(v_{n-1})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ .
Calculer $v_8$
Calculer $v_8-u_8$ puis $v_5-u_5$ .
Conjecturer la valeur de $v_n-u_n$ selon les valeurs de $n$ .

III – Dépassement de seuil

Ecrire une fonction seuil() de paramètres suite et val qui retourne le premier indice à partir duquel le terme de rang $n$ de la suite suite est supérieur à la valeur val.

Tester cette fonction avec la suite

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

. Par exemple:

>>> seuil(suite_u,-0.001)
12
>>> seuil(suite_u,-0.0000001)
26

Tester cette fonction avec la suite

(v_n)_{n \in \mathbb{N}}

. Par exemple:

>>> seuil(suite_v,4.999)
12
>>> seuil(suite_v,4.9999999)
26

IV – Somme de termes

Créer une fonction somme_termes() qui prend en paramètres une suite suite, l’indice du premier terme de la somme indice_debut et l’indice du dernier terme de la somme indice_fin. Cette fonction devra retourner la somme des termes de la suite suite d’indices compris entre indice_debut et indice_fin.

Tester cette fonction avec la suite

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

. Par exemple:

>>> somme_termes(suite_u, 0, 5)
-7.875
>>> somme_termes(suite_u, 0, 8)
-7.984375

Tester cette fonction avec la suite

(v_n)_{n \in \mathbb{N}}

. Par exemple:

>>> somme_termes(suite_v, 0, 5)
22.125
>>> somme_termes(suite_v, 0, 8)
37.015625

Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^5 v_k- \sum_{k=0}^5 u_k$ puis $\displaystyle \sum_{k=0}^8 v_k- \sum_{k=0}^8 u_k$ .
Conjecturer la valeur de $\displaystyle \sum_{k=0}^n v_k- \sum_{k=0}^n u_k$ selon les valeurs de $n$ .