Activité VI – Dérivation et application aux fonctions polynômes

Un dragster aurait atteint la vitesse de $360~km/h$ en $10~s$ .
En supposant l’accélération constante, on démontre que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :

$d: t \in \mathbb{R}_+\mapsto 5t^2$ , où $t$ est la durée en seconde.

Quelle est la distance parcourue en $10$ secondes ?
Quelle est la vitesse moyenne du dragster sur les $10$ secondes parcourues? Elle sera donnée en en $m.s^{-1}$ .
Quelle est la vitesse moyenne entre les instants $2~s$ et $5~s$ ?
Représenter graphiquement $d$ en fonction de $t$ .
On se propose de calculer la vitesse du dragster après $3$ secondes.
a. Soit $h\in \mathbb{R}_+$ . Donner la formule qui donne la vitesse moyenne $V_m(3;3+h)$ du dragster entre les instants $3$ et $3+h$ .
b.Calculer cette vitesse moyenne pour $h$ donné dans le tableau ci-dessous (en $m.s^{-1}$ ).

h $1$ $0,1$ $0,01$ $0,001$ $0,0001$ $0,00001$

$V_m(3;3+h)$

c. D’après le tableau, que peut-on dire de $V_m(3;3+h)$ quand $h$ devient petit ?
d. En déduire $\lim\limits_{h\to 0}V_m(3;3+h)$ . Que représente physiquement cette quantité ?
Soit $a\in [0;10]$ . Soit $h\in\mathbb{R}_+$ de telle sorte que $a+h\in [0;10]$ .
a. Exprimer la vitesse moyenne du dragster entre les instants $a$ et $a+h$ en fonction de $a$ et $h$ .
b. Exprimer $\lim\limits_{h\to 0}V_m(a;a+h)$ en fonction de $a$ .
c. Le dragster atteint-il la vitesse annoncée en début d’exercice?