Cours de M. Caneri
Mathématiques, Cinéma, Informatique
Cours de M. Caneri

Les fonctions

Les intervalles

Soient a et b deux nombres réels.

  • L’intervalle [a ;b] est l’ensemble des nombres réels x tels que a\le x\le b.
  • L’intervalle [a ;b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a\le x < b.
  • L’intervalle ]a ;b] est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x\le b.
  • L’intervalle ]a ;b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.
  • L’intervalle [a ;+\infty[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x\ge a.
  • L’intervalle ]a ;+\infty[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x > a.
  • L’intervalle ]-\infty ; b] est l’ensemble des nombres réels x tels que x\le b.
  • L’intervalle ]-\infty ; b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x < b.

Propriété

Soit a\in\mathbb{R} et b\in\mathbb{R}_+.
x \in [a-r, a+r] \Leftrightarrow |x-a|\le r

Généralités sur les fonctions

Soit une fonction f: x\mapsto f(x) définie sur un intervalle I.
Soient a et b deux nombres réels tels que f(a)=b.
On dit que :

  • b est l'image de a par la fonction f.
  • a est un antécédent de b par la fonction f.

Dans un repère, l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) constituent la représentation graphique de la fonction.

Variations d'une fonction

  • Une fonction f est dite croissante sur l’intervalle I si et seulement si pour tous les nombres réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a) < f(b).
  • Une fonction f est dite croissante sur l’intervalle I si et seulement si pour tous les nombres réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a) > f(b).
  • Une fonction f est dite croissante sur l’intervalle I si et seulement si pour tous les nombres réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a)=f(b).

Extrema locaux d'une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un nombre réel de l’intervalle I.

  • Dire que le nombre f(a) est un maximum de f sur l’intetrvalle I signifie que pour tout réel x de l’intervalle I, f(x)\le f(a).
  • Dire que le nombre f(a) est un minimum de f sur l’intetrvalle I signifie que pour tout réel x de l’intervalle I, f(x)\ge f(a).

Fonction affine

Une fonction affine f est le processus qui, à tout nombre x, fait correspondre le nombre m\times x+p où m et p sont fixés. On la note f: x\mapsto mx+p.
On écrit aussi f(x)=mx+p.

La représentation graphique de la fonction affine est une droite.
Le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite.
Le nombre p est appelé ordonnée à l'origine de la droite.

Si m > 0 alors f est croissante.
Si m < 0 alors f est décroissante.

signe de mx+p

Si m > 0 alors:

  • \forall x \in \left]-\infty; -\frac{p}{m}\right[, mx+p<0
  • \forall x \in \left]-\frac{p}{m}; +\infty\right[, mx+p>0

Si m < 0 alors:

  • \forall x \in \left]-\infty; -\frac{p}{m}\right[, mx+p > 0
  • \forall x \in \left]-\frac{p}{m}; +\infty\right[, mx+p < 0

Fonction linéaire

Une fonction affine f est le processus qui, à tout nombre x, fait correspondre le nombre m\times x où m est fixé. On la note f: x\mapsto mx.
On écrit aussi f(x)=mx.

Remarque: La fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine: c'est le cas où p=0.

La représentation graphique de la fonction linéaire est donc une droite qui passe par l'origine du repère.

Fonction valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre noté

    \[$|x|\]

$ défini par:

  • |x|=x si x\ge 0
  • |x|=-x si x < 0

Ainsi \forall x \in \mathbb{R}, |x|≥0.

La distance de deux nombres réels a et b sur une droite graduée est égale à |a-b|.

La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = |x| est appelée fonction valeur absolue.

Sa représentation graphique est composée de 2 demi-droite d'origine l'origine du repère.

La fonction valeur absolue est décroissante sur ]-\infty;0] et croissante sur [0;+\infty[.

Propriété (variations)

\forall a \in \mathbb{R}_-, \forall b \in \mathbb{R}_-, a < b \Leftrightarrow |a| > |b|.
\forall a \in \mathbb{R}_+, \forall b \in \mathbb{R}_+, a < b \Leftrightarrow |a| < |b|.

Fonction racine carrée

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté \sqrt{a} dont le carré est égal au nombre a.
Le symbole \sqrt{ ~~ } s'appelle le radical.
On a donc \forall x \in \mathbb{R}_+, \sqrt{x}\ge 0.

Propiétés

Soient a \in \mathbb{R}_+ et b \in \mathbb{R}.

  • \sqrt{a}^2=a
  • \sqrt{a^2}=a
  • \sqrt{b^2}=|b|

Un nombre entier positif dont la racine carrée est un nombre entier est appelé un carré parfait.

Propiétés

Soient a \in \mathbb{R}_+, b \in \mathbb{R}_+ et c \in \mathbb{R}^*_+.

  • \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{ab}
  • \sqrt{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}

Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire sous la forme a\sqrt{b} avec b un nombre le plus petit entier possible.

La fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f(x)=\sqrt{x} est appelée fonction racine carrée.
Sa représentation graphique dans un repère orthonormé est une demi-parabole.

La fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[.

Propriété (variations)

\forall a \in \mathbb{R}_+, \forall b \in \mathbb{R}_+, a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}.

Fonction carrée

La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2 est appelée fonction carrée.
Sa représentation graphique dans un repère orthonormé est une parabole de sommet l'origine du repère.

La fonction carrée est décroissante sur ]-\infty;0] et croissante sur [0;+\infty[.

Propriété (variations)

\forall a \in \mathbb{R}_-, \forall b \in \mathbb{R}_-, a < b \Leftrightarrow a^2 > b^2.
\forall a \in \mathbb{R}_+, \forall b \in \mathbb{R}_+, a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2.

Fonction cube

La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^3 est appelée fonction cube.

La fonction carrée est croissante sur [-\infty;+\infty[.

Propriété (variations)

\forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}, a < b \Leftrightarrow a^3 > b^3.

Fonction inverse

La fonction définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} est appelée fonction inverse.
Sa représentation graphique dans un repère orthonormé est une hyperbole.

La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty;0[ et décroissante sur ]0;+\infty[.

Propriété (variations)

\forall a \in \mathbb{R}_-, \forall b \in \mathbb{R}_-, a < b \Leftrightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}.
\forall a \in \mathbb{R}_+, \forall b \in \mathbb{R}_+, a < b \Leftrightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}.