Activité IX – Les suites

On rappelle que \displaystyle \sum_{k=1}^nk = \frac{n(n+1)}{2}.

I – Calcul de la somme des n premiers carrés de nombres entiers naturels non nuls

Soit n \in \mathbb{N}. Soit k \in [1;n].

1. Développer (k+1)^3.
2. En déduire l’expression de (k+1)^3-k^3 en fonction de k.
3. Déterminer de deux façons différentes \displaystyle \sum_{k=1}^n\left[(k+1)^3-k^3\right] en fonction de n.
4. En déduire \displaystyle \sum_{k=1}^nk^2.
5. Calculer \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^2

II – Calcul de la somme des n premiers cubes de nombres entiers naturels non nuls

Soit n \in \mathbb{N}. Soit k \in [1;n].

1. Développer (k+1)^4.
2. En déduire l’expression de (k+1)^4-k^4 en fonction de k.
3. Déterminer de deux façons différentes \displaystyle \sum_{k=1}^n\left[(k+1)^4-k^4\right] en fonction de n.
4. En déduire \displaystyle \sum_{k=1}^nk^3.
5. Calculer \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^3

III – Calcul de la somme des n premières puissances quatrième de nombres entiers naturels non nuls

1. Trouvez une formule pour \displaystyle \sum_{k=1}^nk^4.
2. Calculer \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^4.